Calculateur de frontière efficiente à deux actifs
Comparez deux actifs selon leurs rendements et risques attendus, visualisez la frontière efficiente et calculez les portefeuilles de variance minimale et de Sharpe maximal.
Fonctionnement
Saisissez les rendements annuels attendus, les volatilités annualisées, la corrélation et un taux sans risque. Tous les taux utilisent des points de pourcentage annuels, par exemple 8 pour 8%. Pour chaque poids de A entre 0% et 100%, l’outil attribue le reste à B et calcule le rendement pondéré ainsi que la variance. Il trace 101 combinaisons échantillonnées, puis calcule analytiquement la variance minimale et le candidat fini de Sharpe maximal.
La courbe complète des possibilités n’est pas entièrement efficiente. Si A a le rendement attendu le plus élevé, le segment mis en évidence va de la variance minimale vers 100% en A. Si B a le rendement supérieur, il va dans l’autre sens. Sur la branche opposée, une combinaison disponible offre un meilleur rendement pour le même risque. Si les rendements attendus sont identiques, la branche efficiente se réduit au point de variance minimale.
Utilisez le graphique pour comparer des hypothèses, pas pour prévoir des résultats. Les rendements attendus peuvent fortement modifier la tangence calculée. Recommencez avec des écarts de rendement plus faibles, des volatilités plus élevées et des corrélations proches de un. Plusieurs scénarios sont plus instructifs qu’un poids précis fondé sur des estimations incertaines.
Notez un scénario de base et des scénarios de tension pour le rendement, la volatilité et la corrélation. Si les poids calculés changent fortement, le résultat dépend des données saisies.
Étape par étape
- Ouvrez la frontière efficiente à deux actifs et saisissez vos données.
- Examinez les résultats et les portefeuilles récapitulatifs.
- Modifiez les hypothèses et comparez les scénarios.
Exemple détaillé
Supposons que l’actif A ait un rendement annuel attendu de 8% et une volatilité annuelle de 10%, et que l’actif B ait un rendement de 12% et une volatilité de 20%. La corrélation est de 0 et le taux sans risque de 2%. Les poids de variance minimale sont de 80% pour A et 20% pour B. Le rendement calculé est de 8,8% et la volatilité d’environ 8,9443%.
Avec ces mêmes données, les poids de Sharpe maximal sont d’environ 70,5882% pour A et 29,4118% pour B. Le rendement calculé est d’environ 9,1765%, la volatilité de 9,1885% et le ratio de Sharpe de 0,7810. Ce sont des résultats mathématiques issus d’hypothèses, pas des prévisions. Le graphique présente les 101 combinaisons échantillonnées et met en évidence la branche efficiente supérieure.
Quand utiliser ce calculateur
Utilisez cet outil pour comparer deux hypothèses d’actifs, voir comment la corrélation modifie le risque calculé ou examiner les combinaisons de variance minimale et de Sharpe maximal. Chaque donnée peut être modifiée de façon transparente.
Utilisez un outil multi actifs pour plus de positions, la parité du risque si vous ne souhaitez pas optimiser les rendements attendus, ou l’analyse des baisses pour étudier les pertes dans le temps. Vérifiez les hypothèses avant toute décision d’allocation.
Erreurs fréquentes
Entrez 10 pour 10%, pas 0,10. Utilisez des points de pourcentage annuels pour les rendements attendus, les volatilités annualisées et le taux sans risque. La corrélation est un coefficient entre moins un et un, pas un pourcentage.
Ne qualifiez pas toute la courbe d’efficiente, ne choisissez pas une tangence sans tester les estimations de rendement et ne déduisez pas les baisses futures de l’écart type. Si les deux rendements excédentaires sont négatifs, le meilleur ratio peut rester négatif et ne constitue pas une recommandation d’investissement.
Formules
rₚ = wₐ × rₐ + (1 − wₐ) × rᵇ
σₚ² = wₐ²σₐ² + (1−wₐ)²σᵇ² + 2ρσₐσᵇwₐ(1−wₐ)
wₘᵢₙ = (σᵇ² − ρσₐσᵇ) / (σₐ² + σᵇ² − 2ρσₐσᵇ)
Sharpe maximal = w qui maximise (rₚ − rᶠ) / σₚ
Le rendement, la volatilité et le taux sans risque sont saisis en points de pourcentage annuels : entrez 8 pour 8%. Les poids sont longs et vont de 0% à 100%. Une combinaison sans risque à rendement excédentaire positif n’a pas de maximum de Sharpe fini.
Limites et hypothèses
Ce modèle à un horizon porte sur deux actifs et des positions longues. Il traite les rendements annuels, la volatilité et la corrélation saisies comme des hypothèses cohérentes, même si les valeurs futures et les corrélations peuvent changer. La variance ne distingue pas les hausses des baisses. Le modèle exclut les erreurs d’estimation, les événements extrêmes, les baisses, les impôts, les frais, la liquidité, le rééquilibrage, le coût des emprunts et les contraintes personnelles. Le graphique n’est ni une prévision ni une recommandation d’investissement.
Termes clés
- Définition de la frontière efficiente
- La frontière efficiente regroupe les portefeuilles au rendement attendu le plus élevé pour chaque niveau de risque.
- Définition du portefeuille de variance minimale
- Le portefeuille de variance minimale est la combinaison de deux actifs à la volatilité calculée la plus faible.
- Portefeuille de tangence
- Le portefeuille de tangence est la combinaison longue réalisable qui maximise le ratio de Sharpe, soit le rendement excédentaire par unité de volatilité.
Comparer les options
Cet outil compare deux actifs à partir de leurs hypothèses de rendement annuel et de volatilité. L’allocateur de parité du risque équilibre les contributions au risque sans utiliser les rendements attendus. Le ratio de Sharpe Sortino mesure une série historique de rendements.
Comparez la frontière avec la baisse maximale lorsque l’ordre des pertes compte. Un portefeuille peut reposer sur des hypothèses de rendement et de variance attrayantes tout en subissant une forte baisse entre un sommet et un creux.
FAQ
Comment définir la frontière efficiente ?
L’ensemble des possibilités comprend tous les portefeuilles formés avec ces deux actifs sous la contrainte de poids. La frontière efficiente n’en est que la branche supérieure, du portefeuille de variance minimale vers l’actif au rendement attendu le plus élevé. Une combinaison sur la branche inférieure est inefficiente, car une autre offre un rendement supérieur pour la même volatilité.
Comment définir le portefeuille de variance minimale ?
Le portefeuille de variance minimale est la combinaison réalisable dont l’écart type calculé est le plus faible. Son poids analytique dépend des deux volatilités et de leur covariance. L’outil autorise uniquement des positions longues et limite donc le poids entre 0% et 100%. Cela ne signifie pas une baisse minimale, un rendement maximal ou un portefeuille adapté à chacun.
Comment définir le portefeuille de tangence ?
C’est la combinaison de positions longues dont le ratio de Sharpe calculé est le plus élevé : rendement attendu moins le taux sans risque indiqué, divisé par la volatilité. Le calcul compare un candidat analytique intérieur aux deux extrémités, même si tous les rendements excédentaires sont négatifs. Si une combinaison sans risque a un rendement excédentaire positif, le ratio est sans borne et aucun point de tangence fini n’est affiché. Ce cas mathématique ne recommande ni emprunt ni investissement.
Quel effet la corrélation a sur la frontière ?
La corrélation varie de moins un à un et, avec les deux volatilités, détermine la variance du portefeuille. Une corrélation plus faible peut réduire la volatilité calculée car les actifs compensent une partie de leurs variations. À moins un, une combinaison peut avoir un risque calculé nul ; à un, la courbe du risque est une droite. Les corrélations réelles évoluent, alors testez plusieurs valeurs.
Quel portefeuille choisir ?
Aucun point ne convient automatiquement à tout le monde. La variance minimale répond à une question précise de volatilité, tandis que la tangence porte sur le ratio de Sharpe calculé. Une allocation dépend aussi de la capacité à supporter des pertes, de la liquidité, de l’horizon, des engagements, des impôts, des coûts et de la confiance dans les données. Faites varier les hypothèses et méfiez vous d’un poids qui change fortement.
Outils associés
Mesurez la performance ajustée au risque observée avec le ratio Sharpe Sortino, examinez les baisses avec la baisse maximale et élargissez l’analyse à plusieurs actifs avec l’allocateur de parité du risque. Chaque outil répond à une question différente sur le portefeuille.